微分方程求解（因式分解法解一元二次方程）

大家好，相信到目前为止很多朋友对于微分方程求解和因式分解法解一元二次方程不太懂，不知道是什么意思？那么今天就由我来为大家分享微分方程求解相关的知识点，文章篇幅可能较长，大家耐心阅读，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

1如何求解微分方程？

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；

如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

扩展资料：

以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

2微分方程解法总结有哪些？

微分方程解法总结：

一、g(y)dy=f(x)dx形式，可分离变量的微分方程，直接分离然后积分。

二、可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程，换元分离变量。

三、一阶线性微分方程，dy/dx+P(x)y=Q(x)先求其对应的一阶齐次方程，然后用常数变易法带换u(x)；得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}。

相关信息：

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

3如何求解微分方程的通解？

微分方程的特解求法如下：

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）

则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)

1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

4微分方程的通解公式

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，其中：a、b由初始条件确定，例：y''+3y'+2y = 1，其对应的齐次方程的特征方程为s^2+3s+2=0，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1 s2=-2。

y''+py'+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；y''+py'+qy=f（x），等式右边为一个函数式，

为二阶常系数非齐次线性方程。可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。求解过程在课本中分门别类写得很清楚，由此得到的解，称为【通解】，

通解代表着这是解的集合。我们中学就知道，M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。例如，解三元一次方程组，需要三个方程。由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。

5微分方程数值解法

常见的几种简单的微分方程的解法如下：

1、可分离变量的微分方程=f (x)g (y) 的解法：分离变量法；

解题步骤：①分离变量=f (x) dx；

2、可化为分离变量的微分方程的方程+p (x)·(y) =0的解题步骤：

①移项=p (x)·q (y)（化为可分离变闹和量的微分方程） ：

②用分离变量法得微分方程的通解。

3、一阶线性齐次微分方程+p (x) y=0的解法：

（方法一）这告弯尺是一个可化为分离变量的微分方程的方程，故可用分离变量法；

（方法二）公式法：只需代入通解公式y=ce计算一下即可。

4、一阶线性非齐次微分方程+p (x) y=q (x) (g (x) 0) 的解法：

（方法一）公式法；

（方法二）常数变易法： 把齐次线性方程通解中的任意常数变易为待定函数C(x)，使其袜高满足非齐次线性微分方程，需求出c(x)，从而得到非齐次微分方程通解的方法称为常数变易法。

微分方程运用

微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

好了，文章到此结束，希望可以帮助到大家。