矩阵的秩（矩阵的秩和逆矩阵的秩的关系）
大家好，今天来为大家解答关于矩阵的秩这个问题的知识，还有对于矩阵的秩和逆矩阵的秩的关系也是一样，很多人还不知道是什么意思，今天就让我来为大家分享这个问题，现在让我们一起来看看吧！
1矩阵的秩是什么？
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n=r(AB)
扩展资料
矩阵的秩以r表示，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。
只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。f是满射，当且仅当 A有秩 m（在这种情况下，我们称 A有“满行秩”）。在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A）
参考资料百度百科-秩
2矩阵的秩是怎么定义的,以及为什么要这么定义
矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。
能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）
矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间EndF(V)与所有矩阵组成的空间M(n)F是同构的。
扩展资料：
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在rmin(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
参考资料来源：百度百科——矩阵的秩
3什么叫矩阵的秩？
矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系：
1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；
2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为1；
3、如果 A 秩 n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）
矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n。
扩展资料：
当矩阵是大于等于二阶时：主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以x、y，为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。
当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号 。
4什么是矩阵的秩
第一个角度，也就是书本上的定义，矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。
对一个矩阵，存在某个r阶行列式，值不为0，这个r阶行列式就是对一个矩阵你画r条横线，r条竖线，这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表，这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。
第二个角度，如果我们把矩阵进行初等行变换，将矩阵变换为一个行阶梯形矩阵后，那么行阶梯形矩阵的非0行就是这个矩阵的秩。这是通过运算的角度来给出的矩阵的秩的定义，对矩阵进行初等行变换后得到的行阶梯形矩阵的非0行的个数。
第三个角度，是从线性方程组的角度来给出的，我们可以把秩理解为一种约束，因为方程我们就可以理解为约束，当我们把矩阵看成齐次线性方程组的系数的时候，矩阵的秩就是这个方程组里真正存在的方程的个数。
虽然写出了很多个方程，但有一些是没有用的，可以由其他方程来表示的，这些没用的消去之后剩下的真正的约束的个数就是这个矩阵的秩。
第四个角度，将矩阵看成由一个个向量放在一起拼成的，这个秩就是向量组中独立的向量的个数，其实和上述方程组的角度是差不多的。
扩展资料
定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理：矩阵的乘积的秩Rab=min{Ra,Rb};
引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)=n-2时，最高阶非零子式的阶数=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)=n-1时，最高阶非零子式的阶数=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩
5矩阵的秩？
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
扩展资料：
矩阵的秩
定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理：矩阵的乘积的秩Rab=min{Ra,Rb};
引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)=n-2时，最高阶非零子式的阶数=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)=n-1时，最高阶非零子式的阶数=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）
参考资料：百度百科-矩阵的秩
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